Convolución continua · paso a paso

Señales y Sistemas · Método en 5 pasos

Señales de entrada

Teclado matemático — clic inserta en el campo enfocado
Plantillas:

Puedes escribir 5t, 2(t+1), e^(-3t), 5e-3t, t^2, sen(t). Vista previa automática en cada tramo.

x(t) entrada

h(t) respuesta al impulso

Gráficas de entrada y salida

Solape en τ arrastra t para ver h(t−τ) moverse

El rango se ajusta solo a tus señales al resolver.
t = 1 · área ≈ —

Integral paso a paso

Vacía a y b para indefinida. Acepta oo, tau^2*exp(-tau), tau*sin(tau), 1/(1+tau^2).

Procedimiento matemático · 5 pasos

Sigue este algoritmo en orden; sirve para cualquier pareja de señales x(t), h(t) y para las integrales que aparezcan. Con \( \tau \) como variable de integración y \( t \) fijo.

\( \displaystyle y(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau \)

1 Obtener h(t−τ) «móvil» — reflejo + corrimiento

  1. Escribe \(h_j(t)\) con su soporte: \(h_j(t)=f(t)\) si \(a_j\le t\le b_j\); \(0\) en otro caso.
  2. Sustituye \(t\to t-\tau\) en la fórmula y en el soporte: \(a_j\le t-\tau\le b_j\).
  3. Resta \(t\) en toda la desigualdad: \(a_j-t\le-\tau\le b_j-t\).
  4. Multiplica por \(-1\) (¡las desigualdades se invierten!): \(t-b_j\le\tau\le t-a_j\).

→ \(h_j(t-\tau)\) solo está activo en \(t-b_j\le\tau\le t-a_j\).

2 Obtener x(τ) «fija» — cambio de variable

  1. Sustituye \(t\to\tau\): \(x_i(\tau)\) activo en \(a_i\le\tau\le b_i\).
  2. Criterio de clase: se deja fija la de soporte más ancho y se refleja la otra; si conviene, intercambia x↔h. El resultado no cambia porque \(x*h=h*x\).

3 Identificar intervalos de t y de τ — dónde inicia

  1. Puntos críticos: \(t_c=(\text{borde de }x)+(\text{borde de }h)\), todas las combinaciones finitas; ordénalos.
  2. Los críticos dividen la recta de \(t\) en intervalos; \(y(t)\) inicia donde aparece el primer solape.
  3. En cada intervalo toma un \(t\) de prueba y obtén el solape en \(\tau\):
    \(\;\)[\(\max(a_i,\,t-b_j)\), \(\min(b_i,\,t-a_j)\)] — si queda vacío → \(y=0\) en ese intervalo.

4 Multiplicar e integrar — por cada intervalo con solape

  1. Plantea la integral con los límites reales:
    \( \displaystyle y(t)=\int_{lo}^{hi}\big(x_i(\tau)\big)\big(h_j(t-\tau)\big)\,d\tau \)
    Si el solape «entra y sale» por tramos distintos: una integral entrante y una saliente, y se suman.
  2. Expandir/simplificar el integrando sin saltarse operaciones.
  3. Aplica la regla: \(\int \tau^n d\tau=\frac{\tau^{n+1}}{n+1}\) · \(\int e^{k\tau}d\tau=\frac{e^{k\tau}}{k}\) · \(\int \operatorname{sen}(k\tau)d\tau=-\frac{\cos(k\tau)}{k}\) · \(\int \cos(k\tau)d\tau=\frac{\operatorname{sen}(k\tau)}{k}\) · polinomio×exponencial → integración por partes (tabular).
  4. Integra término a término → primitiva \(F(\tau)\).
  5. Evalúa \(F(hi)\) y \(F(lo)\) por separado.
  6. Resta (Teorema Fundamental del Cálculo): \(y=F(hi)-F(lo)\) y simplifica.

5 ¿Fin o hay más intervalos?

  1. Tras cada intervalo pregúntate: ¿faltan intervalos por analizar? Si sí, repite los pasos 3–4.
  2. Respuesta final por tramos (y, si se pide, forma compacta con escalones \(u(t)\)).

Adaptación a cualquier integral \( \int f\,d\tau \) (con o sin límites)

  1. Transcribir el integrando tal cual.
  2. Expandir y agrupar términos semejantes.
  3. Identificar la regla (potencia, exponencial, trigonométrica, partes).
  4. Integrar término a término → \(F(\tau)+C\).
  5. Verificar derivando: \(dF/d\tau\) debe devolver el integrando.
  6. Si hay límites: evalúa \(F(b)\) y \(F(a)\) por separado.
  7. Resta (TFC): \(\int_a^b f\,d\tau=F(b)-F(a)\), simplificando al final.

Videos: playlist Convolución (YouTube) · 3A/3B continua, parte 2 transformaciones.

Presets